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Teorema del valor intermedio

Dejo aquí lo que estoy estudiando para rendir Análisis Matemático I.

Nos dice que si f(x) es una función continua en un intervalo [a,b] entonces para todo d perteneciente a (f(a),f(b)) existe un c perteneciente a (a,b) tal que f(c)=d

Para demostrarlo, suponemos una funcion g(x)= f(x) – d (d es una constante cualquiera)
f(x) es continua por la hipótesis del teorema, d es continua por ser función constante, resta de funciones continuas da como resultado una función continua. g(x) es continua
Evaluamos g en un punto a:

g(a)=f(a) – d

La función en ese punto es negativa, ya que por hipótesis tenemos que d pertenece a (f(a),f(b)) o sea que d>f(a).

Evaluamos g en un punto b:

g(b)=f(b) – b

La función en ese punto es positiva,ya que por hipótesis tenemos que d pertenece a (f(a),f(b)) o sea que d

Como g es continua y g(a)g(b)<0, podemos aplicar el Teorema de Bolzano

Al aplicarlo, deducimos que existe un c perteneciente a (a,b) tal que g(c)=0

Evaluamos g en ese punto c:

g(c)=f(c) – d

Despejando, 0=f(c) – d    —->    f(c)=d

Así queda demostrado el teorema.

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