Teorema de Lagrange

El teorema nos dice que si una función f es continua en un intervalo [a,b] y derivable en un intervalo (a,b),

existe un c perteneciente a (a,b) tal que f’(c) = ( f(b) – f(a) ) / (b-a).

Si se interpreta geometricamente, se puede ver que lo “único” que nos dice es que hay un punto en el que la recta tangente a la curva es paralela a la recta secante entre los dos puntos que dan el intervalo.

Para demostrarlo, definimos una funcion g:

g(x) = f(x) – y     donde y seria la recta secante entre los puntos a y b.

La ecuacion de una recta que pasa por 2 puntos (x0,y0) (x1,y1) es y – y0 = m (x – x0), donde m es la pendiente.

La pendiente esta dada por ( y1 – y0) / (x1 – x0).

Entonces si armamos la ecuacion en base a los puntos (a,f(a)) (b,f(b)) obtenemos que:

y – f(a) = [ ( f(b) - f(a) ) / (b-a) ] * (x – a)

y = [ ( f(b) - f(a) ) / (b-a) ] * (x – a) + f(a)

Por lo que g sería:

g(x) = f(x) – { [ ( f(b) - f(a) ) / (b-a) ] * (x – a) + f(a) }

Si evaluamos g en a y b:

g(a) = f(a) – { [ ( f(b) - f(a) ) / (b-a) ] * (a – a) + f(a) }

g(b) = f(b) – { [ ( f(b) - f(a) ) / (b-a) ] * (b – a) + f(a) }

Ambas dan como resultado 0.

Sabemos que g es continua en [a,b] porque es una resta de funciones continuas, y que es derivable en (a,b) porque es resta de funciones derivables, asi que como g(a) = g(b) podemos aplicar el teorema de Rolle.

Por Rolle, deducimos que existe un c perteneciente a (a,b) tal que g’(c)=0.

g’(x) = f’(x) – { [ ( f(b) - f(a) ) / (b-a) ] * (x – a) + f(a) }’

g’(x) = f’(x) – { [ ( f(b) - f(a) ) / (b-a) ] * (x – a) }’ + f(a)’

g’(x) = f’(x) – { [ ( f(b) - f(a) ) / (b-a) ] * (x – a) }’ + 0

g’(x) = f’(x) – [ ( f(b) - f(a) ) / (b-a) ]

Entonces

g’(c) = f’(c) – [ ( f(b) - f(a) ) / (b-a) ] = 0

f’(c) = [ ( f(b) - f(a) ) / (b-a) ]   como queríamos demostrar.