Teorema de la unicidad

“lim x->a” simboliza “límite cuando x tiende a a”

El teorema nos dice que si lim x->a f(x)=L1 y lim x->a f(x)=L2 entonces L1=L2. O sea, el límite es único.

Para demostrarlo, suponemos que L1 es distinto a L2, y tratamos de llegar a un absurdo o contradicción.

(1) Por definición de límite:

Como lim x->a f(x)=L1, para todo E>0 se verifica que existe un D1>0 tal que si 0<|x-a|

(2) Por definición de límite:

Como lim x->a f(x)=L2, para todo E>0 se verifica que existe un D2>0 tal que si 0<|x-a|

Ahora si escribimos L1-L2=L1-f(x) + f(x)-L2 y tomamos el valor absoluto:

(3) |L1-L2| = |L1-f(x) + f(x)-L2| <= |L1-f(x)| + |f(x)-L2|

Así, de 1, 2 y 3 obtenemos que:

(4) Para todo E>0 se verifica que existe un D1>0, D2>0 tal que si 0<|x-a|<|x-a|

Sea d el mínimo entre D1 y D2, d<=D1 y d<=D2.

Se tiene que:

(5) Para todo E>0 se verifica que existe un d>0 tal que si 0<|x-a|<2E

Si tomamos E=1/2 *|L1-L2|, de 5 obtenemos que:

Para todo E>0 se verifica que existe un d>0 tal que si 0<|x-a|<|L1

lo cual no es cierto, por lo tanto concluímos que L1=L2 como queríamos demostrar.