Teorema de estricción

“lim x->a” simboliza “limite cuando x tiende a a”

El teorema nos dice que si f, g y h son funciones definidas en un intervalo abierto I, el cual contiene a a, f(x)<=g(x)<=h(x) para todo x perteciente a I, y lim x->a f(x)=lim x->a h(x)=L, entonces lim x->a g(x) existe y es igual a L.

Para probar que lim x->a g(x)=L, debemos demostrar que

para cualquier E>0 existe un D>0 tal que si 0<|x-a|< g(x)

Por hipótesis, sabemos que lim x->a f(x)=L, entonces

(1)para todo E>0 existe un D1>0 tal que si 0<|x-a|< f(x)

También sabemos que lim x->a h(x)=L, entonces

(2)para todo E>0 existe un D2>0 tal que si 0<|x-a|< h(x)

Tomamos a d como el mínimo entre D1 y D2. d<=D1 y d<=D2.

Por (1), concluimos que:

(3) si 0<|x-a|< f(x)

Y por (2):

(4) si 0<|x-a|

Por hipótesis, sabemos que f(x)<=g(x)<=h(x). Entonces:

L-E < f(x) <= g(x) <= h(x) < L+E

Por lo tanto, si 0<|x-a|< g(x) < L+E   (definición de límite)

Así, llegamos a que lim x->a g(x)=L y queda demostrado el teorema.