Teorema de Bolzano

Nos dice que si f es una funcion continua en un intervalo (a,b) y f(a)*f(b)<0, existe un c perteneciente a (a,b) que verifica que f(c)=0.

O sea, si la funcion es continua en un intervalo, y los extremos tienen distinto signo, la funcion tiene por lo menos una raiz en ese intervalo.

Para demostrarlo, suponemos que f(a)<0 y f(b)>0 (se demuestra analogamente para el caso contrario).

Suponemos un conjunto K, que contiene todos los puntos x del intervalo [a,b] que verifican que f(x)<= 0. (K es distinto de vacio, ya que f(a)<0).

Ese conjunto tiene una cota superior c, que verifica que c>=x para todo x perteneciente a K.

f(c) puede ser < 0 o = 0, por definicion de K.

Si f(c)<0, hay un intervalo (c-d,c+d) en el que f es < 0, por lo que podrian haber f(x)< 0 para algun x> c. Esto no puede pasar, porque c es cota superior del conjunto K, que tiene todos los valores negativos de f.

Por esto, la cota superior no puede ser un c tal que f(c)<0, asi que f(c)=0.