Teorema 2 de análisis matemático

“lim x->a” simboliza “límite cuando x tiende a a”

El teorema nos dice que si

(2)lim x->a f(x)=L

y

(3)lim x->a g(x)=M

entonces

lim x->a (f(x)+g(x))=L+M y im x->a (f(x)-g(x))=L-M

Para demostrarlo, usamos la definición de límite. Es decir, para cualquier E>0 debemos demostrar que existe un D>0 tal que si 0<|x-a|

Como la ecuación (2) esta dada por la definición de límite, podemos decir que para

E/2>0 existe un D1>0 tal que si 0<|x-a|

Análogamente, de la ecuación (3) se deduce que para

E/2>0 existe un D2>0 tal que si 0<|x-a|

Ahora, tomamos un d que es el mínimo entre D1 y D2. Entonces, d<=D1 y d<=D2.

Así, si 0<|x-a|<|x-a|

Por lo tanto, si 0<|x-a|

|[f(x)+g(x)]-(L+M)| = |(f(x)-L)+(g(x)-M)| = |f(x)-L|+|g(x)-M| < E/2 +E/2 < E

Con esto queda demostrada una parte del teorema. La parte de la resta se demuestra de la misma forma.