Métodos matemáticos

(La figura no está dibujada a escala)

A medida que disminuye de velocidad, la distancia s, desde A, viene dada por:

s = c + 100t – 4t2

Donde t es el tiempo en segundos después de tocar tierra, y c es la distancia en metros a T desde A.

1. El avión toca tierra a 800m desde A (es decir, c = 800)
2. Halle la distancia recorrida por el avión en los primeros 5 segundos después de tocar tierra

Remplazamos t en 5,

s = 800 + 100(5) – 4(5)2

s = 1200 m

A los 5 segundos después de tocar tierra el avión recorre 1200 metros.

1. Escriba una expresión de la velocidad del avión en el tiempo t segundos después de tocar tierra y partiendo de aquí halle la velocidad pasados 5 segundos

Derivamos para sacar la expresión de la velocidad en relación con el tiempo:

V = 100 – 8(t)

V = 100 – 8(5)

V = 60 m s-1

El avión pasa por la señal P con una velocidad de 36 m s-1.

1. Cuántos segundos después de tocar tierra pasa la señal

Remplazamos en la expresión v = 36 m s-1 para obtener el tiempo en el que el avión pasa por P.

36 = 100 – 8t

t =

t = 8 segundos.

1. La distancia de P hasta A

Tomamos el tiempo de la respuesta anterior para averiguar la distancia con la fórmula de la distancia.

s = 800 + 100(8) – 4(8)2

s = 1344m

La distancia entre P y A es de 1344 metros.

1. Demuestre que si el avión toca tierra antes de alcanzar el punto P, puede detenerse antes de llegar al extremo norte, B, de la pista

Para demostrarlo voy a tomar la velocidad en B como cero para obtener el tiempo.

0 = 100 – 8t

t =

t = 12.5

Ahora vamos a remplazar el tiempo en la fórmula de la distancia:

s = 800 + 100(12.5) – 4(12.5)2

s = 1,425 metros

Esto quiere decir que el avión para antes ya que la distancia es menor a la de B.

1. Resolver

Tomemos funciones de la forma y = e

1. Muestre que

Para demostrar la afirmación voy a sacar la integral utilizando el método de sustitución.

Tomando como u a -kx:

u = -kx

du = -kdx

Despejamos dx para poder sustituirlo en la ecuación.

dx =

Ahora sustituimos en:

Lo antiderivamos:

Ahora utilizaremos la fórmula para obtener la antiderivada en los intervalos:

Siendo f la función y F la función original.

Sustituimos nuestros valores:

F(1) – F(0) =

Simplificamos:

-

Factorizamos:

1. Sea k = 0.5
2. Dibuje la gráfica de y = e, para -1 ≤ x ≤ 3 e indique las coordenadas de su intersección con el eje de las y.

Para calcular las coordenadas de intersección del eje y, igualamos x a cero.

Entonces la coordenadas son (0,1), como está indicado en el gráfico.

1. Sombree la región encerrada por esta gráfica, el eje de las y, el eje de las x y la recta x = 1.

1. Halle el área de esta región

Hallaremos el área (A) sustituyendo 0.5 en k:

A =

A = 0.7869

1. 1. Halle en función de k, siendo y = e-kx

El punto P(1,0.8) yace sobre la gráfica de la función y = e-kx

1. Halle el valor de k para este caso.

Sustituimos los valores de P en la ecuación:

0.8 =

k = – Ln (0.8)

k = 0.2231

1. Halle el gradiente de la tangente a la curva en P

Ahora podemos decir que

La pendiente de la tangente en el punto P = -0.1785