Derivabilidad implica continuidad

lim x->c simboliza “limite cuando x tiende a c”

Para demostrar que si una funcion f es derivable en un punto c también es continua allí, simplemente hay que demostrar que el lim x->c f(x) = f(c), ya que por definición si una función es continua el límite tendiendo a un punto es el valor de la función evaluada en ese punto.

Recordemos que:

f´(x) = lim x->c { [f(x) - f(c)] / (x-c) }          por definicion de derivada.   (1)

Comenzamos planteando que:

f(x) – f(c) = f(x) – f(c)

f(x) – f(c) = [f(x) - f(c)] * (x-c) / (x-c)     // simplemente se multiplica y se divide el lado derecho por (x-c)

f(x) = [f(x) - f(c)] * (x-c) / (x-c) + f(c)   // sumamos f(c) en ambos lados de la igualdad

lim x->c f(x) = lim x->c { [f(x) - f(c)] * (x-c) / (x-c) + f(c) } // si ambas funciones son iguales, los limites tambien

lim x->c f(x) = lim x->c { [f(x) - f(c)] * (x-c) / (x-c) } + lim x->c f(c) // suma de limites, separamos

lim x->c f(x) = lim x->c { [f(x) - f(c)] / (x-c) } * lim x->c (x-c) + lim x->c f(c) // producto de limites, separamos

Reemplazando (1), sabiendo que lim x->c (x-c) = 0 y que lim x->c f(c) = f(c) simplificamos la expresion

lim x->c f(x) = f´(x) * 0 + f(c)

Así obtenemos que

lim x->c f(x) = f(c)

como queríamos demostrar.