Mis apuntes de Análisis 1.
lim x->c simboliza “limite cuando x tiende a c”
Para demostrar que si una funcion f es derivable en un punto c también es continua allí, simplemente hay que demostrar que el lim x->c f(x) = f(c), ya que por definición si una función es continua el límite tendiendo a un punto es el valor de la función evaluada en ese punto.
Recordemos que:
f´(x) = lim x->c { [f(x) - f(c)] / (x-c) } por definicion de derivada. (1)
Comenzamos planteando que:
f(x) – f(c) = f(x) – f(c)
f(x) – f(c) = [f(x) - f(c)] * (x-c) / (x-c) // simplemente se multiplica y se divide el lado derecho por (x-c)
f(x) = [f(x) - f(c)] * (x-c) / (x-c) + f(c) // sumamos f(c) en ambos lados de la igualdad
lim x->c f(x) = lim x->c { [f(x) - f(c)] * (x-c) / (x-c) + f(c) } // si ambas funciones son iguales, los limites tambien
lim x->c f(x) = lim x->c { [f(x) - f(c)] * (x-c) / (x-c) } + lim x->c f(c) // suma de limites, separamos
lim x->c f(x) = lim x->c { [f(x) - f(c)] / (x-c) } * lim x->c (x-c) + lim x->c f(c) // producto de limites, separamos
Reemplazando (1), sabiendo que lim x->c (x-c) = 0 y que lim x->c f(c) = f(c) simplificamos la expresion
lim x->c f(x) = f´(x) * 0 + f(c)
Así obtenemos que
lim x->c f(x) = f(c)
como queríamos demostrar.
