Siempre nos dijeron que la función de transferencia de un sistema de control en lazo cerrado se obtenía definiendo señales internas. Voy a mostrar cómo obtener esa función de transferencia de una manera un poco más complicada pero más intuitiva.
|
R(s) |
E(s) |
C(s) |
|
0 |
0 |
0 |
|
R(s) |
R(s) |
R(s)G(s) |
|
R(s) |
R(s)-R(s)G(s)H(s) |
R(s)G(s)-R(s)G(s)2H(s) |
|
R(s) |
R(s)-R(s)G(s)H(s)+R(s)G(s)2H(s)2 |
R(s)G(s)-R(s)G(s)2H(s)+R(s)G(s)3H(s)2 |
Como podemos ver, C(s) está tomando una forma general que puede ser fácilmente deducida y es de la forma:
C(s) = R(s)G(s)-R(s)G(s)2H(s)+R(s)G(s)3H(s)2-R(s)G(s)4H(s)3+…+R(s)G(s)nH(s)n-1
Cada término es producido en cada ciclo que la señal hace a través del sistema y n puede ser visto como el numero de ciclos.
Me siento mas tranquilo con esa expresión a pesar de su complejidad, pero la pregunta es: ¿Es esa expresión la misma que la que se enseña en todos los libros? La respuesta es sí, lo averigüé utilizando una herramienta matemática llamada “Serie de Taylor”.
Teniendo C(s) de la última forma:
C(s) = R(s)G(s)-R(s)G(s)2H(s)+R(s)G(s)3H(s)2-R(s)G(s)4H(s)3+…+R(s)G(s)nH(s)n-1
podemos sacar como factor común a R(s)G(s) :
C(s) = R(s)G(s) ( 1-G(s)H(s)+G(s)2H(s)2-G(s)3H(s)3+…+G(s)n-1H(s)n-1 )
dividiendo ambos lados por R(s) obtenemos la función deseada:
C(s)/R(s) = G(s) (1-G(s)H(s)+G(s)2H(s)2-G(s)3H(s)3+…+G(s)n-1H(s)n-1 )
Ahora, hagamos uso de la serie de Taylor. En muchos libros de Cálculo se pueden encontrar las series de Taylor de diversas funciones tales como sen(x), e^x, ln(x), x/(1-x), etc…Si observamos la serie de Taylor de la función 1/(1+x), veremos que tiene la forma: 1-x+x2-x3+x4-x5+x6-x7+x8-x9+…
Y si sustituimos x por G(s)H(s), la expresión se convierte en la que multiplica a G(s) en la última ecuación de C(s)/R(s), siendo igual a 1 / ( 1 + G(s)H(s) ).
Finalmente, sustitiyendo adecuadamente, obtenemos C(s)/R(s) = G(s) / ( 1 + G(s)H(s) )
Esta es la misma ecuación enseñada por nuestros profesores y por los libros. Dije que sería una manera un poco más complicada para obtener el mismo resultado pero viendo que se puede llegar a la misma expresión paso a paso como lo haria un sistema real, ahora me siento satisfecho y espero que tu también.
