Siempre nos dijeron que la función de transferencia de un sistema de control en lazo cerrado se obtenía definiendo señales internas. Voy a mostrar cómo obtener esa función de transferencia de una manera un poco más complicada pero más intuitiva.
Cuando me enseñaron como simplificar diagramas de bloques, el profesor definió señales internas en función de la Referencia R(s) y de la salida C(s). Eso me pareció bien, pero cuando empezó con el álgebra, algo me incomodó.
La señal E(s) resulta de la diferencia entre la Referencia y la Salida medida. Esta es la manera en que él (y los libros ) calculó la expresión C(s) / R(s):
1.- E(s) = R(s) – C(s)H(s)
2.- C(s) = E(s)G(s)
sustituyendo la expresión de E(s) en la segunda ecuación nos da:
C(s) = ( R(s) – C(s)H(s) )G(s)
efectuando la multiplicación en el lado derecho:
C(s) = R(s)G(s) – C(s)G(s)H(s)
agrupando los términos que contienen a C(s) como factor común:
C(s) + C(s)G(s)H(s) = R(s)G(s)
sacando C(s) como factor común:
C(s) ( 1 + G(s)H(s) ) = R(s)G(s)
dividiendo ambos lados por ( 1 + G(s)H(s) ) nos da:
C(s) = R(s)G(s) / ( 1 + G(s)H(s) )
y finalmente dividiendo ambos lados por R(s) termina el proceso:
C(s)/R(s) = G(s) / ( 1 + G(s)H(s) )
Lo que no pude entender era el hecho de que tanto E(s) como C(s) dependían ambos uno del otro. Si se puede escribir E(s) en función de C(s) y C(s) en función de E(s): ¿Cómo sabe el sistema cuando dejar de sustituir una señal en la otra? o más aún, ¿Cómo sabe el sistema qué señal sustituir en cuál?
Decidí hacer una simulación mental y escribirla en lenguaje matemático. Procedí de la siguiente manera:
Imaginemos que el sistema tiene una salida cero inicialmente y súbitamente se aplica la referencia en la entrada. La señal E(s) es igual a R(s) debido a que C(s) es cero. C(s) se convierte en R(s)G(s) en el momento en el que la señal llega a la salida. Entonces C(s) es multiplicada por H(s) y es restada de la referencia, que aún está ahí. Ahora E(s) es igual a R(s) – R(s)G(s)H(s). Veamos como evoluciona la señal C(s) conforme la señal sigue dando vueltas realimentándose una y otra vez:
